Question

已知函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1）．
（Ⅰ）當a＞0時，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）當a=1時，若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當m＞n＞0時，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值點；
（Ⅱ）由上知，f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，即可求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）設g（x）=

ln(1+x)

x

，求導數(shù)g'（x）=g'（x）=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，從而可得

ln(1+n)

n

＜

ln(1+m)

m

，由此可得結論

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a．
a＞0時，f（x）在（-1，e

1-a

a

-1]上遞增，在[e

1-a

a

-1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的極大值點為x=e

1-a

a

-1，無極小值點；
（Ⅱ）解：由上知，f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，
∵f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，
∴f（1）-f（-

1

2

）＜0，
∴t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0），方程f（x）=t有兩解；
（Ⅲ）證明：設g（x）=

ln(1+x)

x

，
則g'（x）=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

．
由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數(shù)，
而m＞n＞0，所以g（n）＜g（m），得

ln(1+n)

n

＜

ln(1+m)

m

，
得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）^m＜（1+m）ⁿ．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數(shù)，是一個綜合題，題目難度中等．