Question

設(shè)函數(shù)

（1）若時(shí)，函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若對任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）時(shí)，，有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，從而確定的取值范圍；

（2）要使函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，只需在上沒有實(shí)根即可，即的兩根或不在區(qū)間上；

（3）求導(dǎo)函數(shù)來確定極值點(diǎn)，利用的取值范圍，求出在上的最大值，再求滿足時(shí)的取值范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033570607542491_DA/SYS201411172033570607542491_DA.006.png">有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，所以，即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根.

令，則.

令，解得；令，解得或.

所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以，.

所以的取值范圍是.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033570607542491_DA/SYS201411172033570607542491_DA.032.png">，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033570607542491_DA/SYS201411172033570607542491_DA.006.png">在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上沒有實(shí)數(shù)根，

由，二次函數(shù)對稱軸，

當(dāng)時(shí)，即，解得或，

所以，或（不合題意，舍去），解得.

所以的取值范圍是；

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033570607542491_DA/SYS201411172033570607542491_DA.034.png">，所以或，且時(shí)，，.

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033570607542491_DA/SYS201411172033570607542491_DA.016.png">，所以在上小于0，是減函數(shù)；

在上大于0，是增函數(shù)；

所以，而，

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033570607542491_DA/SYS201411172033570607542491_DA.017.png">在上恒成立，所以，即，即，在上恒成立.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033570607542491_DA/SYS201411172033570607542491_DA.056.png">在上是減函數(shù)，最小值為-87.

所以，即的取值范圍是.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．