Question

7．某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部為底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A₁B₁C₁D₁-ABCD．上部為直四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂．
（1）證明：直線BD⊥平面ACC₂A₂．
（2）現(xiàn)需要對(duì)該零件表面進(jìn)行防腐處理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（單位：厘米）每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？

Answer 1

分析 （1）依題意易證AC⊥BD，AA₂⊥BD，由線面垂直的判定定理可證直線BD⊥平面ACC₂A₂；
（2）需計(jì)算上面四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的表面積（除去下底面的面積）S₁，四棱臺(tái)A₁B₁C₁D₁-ABCD的表面積（除去下底面的面積）S₂即可．

解答 （1）證明：∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的側(cè)面是全等的矩形，
∴AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又AB∩AD=A，
∴AA₂⊥平面ABCD．
連接BD，
∵BD?平面ABCD，
∴AA₂⊥BD，
又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又AA₂∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₂A₂；
（2）解：∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，
∴S₁=S_{四棱柱下底面}+S_{四棱柱側(cè)面}
=A₂B₂²+4AB•AA₂
=10²+4×10×30
=1300（cm²）
又∵四棱臺(tái)A₁B₁C₁D₁-ABCD上下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，
∴S₂=S_{四棱柱下底面}+S_{四棱臺(tái)側(cè)面}
=A₁B₁²+4×$\frac{1}{2}$（AB+A₁B₁）•h_{等腰梯形的高}
=20²+4×$\frac{1}{2}$（10+20）•$\sqrt{1{3}^{2}-[\frac{1}{2}（20-10）]^{2}}$
=1120（cm²），
于是該實(shí)心零部件的表面積S=S₁+S₂=1300+1120=2420（cm²），
故所需加工處理費(fèi)0.2S=0.2×2420=484元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，考查棱柱、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，著重考查分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．