Question

【題目】已知橢圓的離心率，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ，求證: 三點(diǎn)共線；

(3) 當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3) .

【解析】試題分析：(1)根據(jù)離心率可求得的值，從而可求得的值，進(jìn)而可得結(jié)果；(2) 設(shè)，只需用平面向量坐標(biāo)法證明即可得結(jié)論；（3）設(shè)直線的方程為，根據(jù)韋達(dá)定理、弦長公式、三角形面積公式將面積表示為關(guān)于的函數(shù)式，換元后根據(jù)配方法求最值，取得最值時(shí)可以確定的值，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：(1) 由， 橢圓的方程是.

(2)由（1）可得，設(shè)直線的方程為. 由方程組，得，依題意，

得.設(shè)，則，由

，得三點(diǎn)共線.

(3)設(shè)直線的方程為. 由方程組，得，依題意，得.設(shè)，則

，令，則，即

時(shí)， 最大， 最大時(shí)直線的方程為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用配方法法求三角形最值的.