已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設(shè)向量
p
=（a，b），
q
=（sinB，sinA），
n
=（b-2，a-2）．
（Ⅰ）若
p
∥
q
，求證：△ABC是等腰三角形；
（Ⅱ）若
p
⊥
n
，邊長c=2，∠C=
π
3
，求△ABC的面積．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理和向量平行的條件，問題得以證明；
（Ⅱ）根據(jù)向量垂直則數(shù)量積等于0，利用余弦定理，求出ab的積，然后利用三角形的面積公式，即可解得．
解答： 解：（Ⅰ）證明：∴
p
∥
q
，
p
=（a，b），
q
=（sinB，sinA），
∴asinA=bsinB，
根據(jù)正弦定理，
a
sinA
=
b
sinB
得，a2=b2，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（Ⅱ）∵
p
⊥
n
，
∴
p
•
n
=0，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab，
又c=2，∠C=
π
3
，
∴4=a2+b2-2bccos
π
3
，
∴4=（a+b）2-3ab，
∴（ab）2-3ab-4=0，
∴ab=4，（ab=-1舍去）
∴S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×4×
3
2
=
3
．
點評：本題主要考查了向量的平行與垂直，以及正弦定理，余弦定理，是一道有關(guān)向量和三角函數(shù)綜合題目，難度不是很大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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自A（4，0）引圓x2+y2=4的割線ABC，求弦BC中點P的軌跡方程．

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有兩個命題：p：不等式2x-x2＜m＜（
1
3
）x+4對一切實數(shù)x恒成立；q：f（x）=-（7-2m）x是R上的減函數(shù)，如果p且q為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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函數(shù)f（x）=ln（x2-x-2）的單調(diào)遞減區(qū)間為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，條件甲：z+
1
z
是實數(shù)，條件乙：|z|=1，則甲是乙的
 
條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
π
4
＜α＜β＜
π
2
，且sin（α+β）=
4
5
，cos（α-β）=
12
13
，則tan2α=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正△ABC邊長等于
3
，點P在其外接圓上運動，則
PA
•
PB
的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α為銳角，cos（α+
π
6
）=
2
3
，則sinα=（　　）
A、
2+
15
6
B、
2
3
+
5
6
C、
2
3
-
5
6
D、
15
-2
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是一個算法的流程圖．若輸入x的值為2，則輸出y的值是（　�。�
A、0
B、-
3
2
C、-1
D、-
5
4

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