Question

某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于105的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為甲配方和乙配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖所示試驗(yàn)結(jié)果．
（1）分別估計(jì)用甲配方，乙配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
（2）已知用乙配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=

-3 ，t＜95 3 ， 95≤t＜105 5， t≥105

，從用乙配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由試驗(yàn)結(jié)果知，用甲配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為0.28，用乙配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為0.42，由此能估計(jì)用甲配方，乙配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率．
（2）用乙配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90，95），[95，105），[105，115）的頻率分別為0.08，0.5，0.42，P（X=-3）=0.08，P（X=3）=0.5，P（X=5）=0.42，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由試驗(yàn)結(jié)果知，用甲配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為0.28，
∴甲配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為0.28．
由試驗(yàn)結(jié)果知，用乙配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為0.42，
∴乙配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為0.42．
（2）用乙配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，
其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90，95），[95，105），[105，115）的頻率
分別為0.08，0.5，0.42，
∴P（X=-3）=0.08，
P（X=3）=0.5，
P（X=5）=0.42，
∴X的分布列為：

X	-3	3	5
P	0.08	0.5	0.42

EX=-3×0.08+3×0.5+5×0.42=3.36．

點(diǎn)評(píng)：本題考查估計(jì)值的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．