Question

設命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；命題q：實數(shù)x滿足2＜x≤3．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（I）利用一元二次不等式的解法可化簡命題p，若p∧q為真，則p真且q真，即可得出；
（II）￢p是￢q的充分不必要條件，即￢p⇒￢q，且￢q?￢p，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）對于命題p：由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，∴a＜x＜3a，
當a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由已知q為真時實數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3．
若p∧q為真，則p真且q真，
∴實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
（Ⅱ）￢p是￢q的充分不必要條件，即￢p⇒￢q，且￢q?￢p，
設A={x|￢p}，B={x|￢q}，則A?B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x≤2或x＞3}，
則0＜a≤2且3a＞3，
∴實數(shù)a的取值范圍是1＜a≤2．

點評：本題考查了簡易邏輯的有關知識、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎題．