Question

如圖1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如圖2所示．

（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，三棱錐M-ADE的體積為

2

12

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）AD⊥BM?BD⊥面ADM?

BM⊥AM 面ADM⊥面AMB

?在矩形ABCD中，AB=2且AD=1；
（2）三棱錐M-ADE的體積就是三棱錐E-ADM的體積，而三角形ADM面積已知，則可以算出三棱錐E-ADM的高h，又由（1）可知，BM⊥面ADM，通過h與BM的比值可確定E點在BD上的位置．

解答： （本小題滿分12分）
（1）連接BM，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD中點，AM=BM=

2

，
由勾股定理得BM⊥AM；                  
折起后，平面ADM⊥平面ABCM，且平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM；
得BM⊥平面ADM，
又AD?平面ADM，所以AD⊥BM；          
（2）在△BDM中，作EF∥BM交DM于F．
（1）中已證明BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM，EF是三棱錐E-MAD的高，
VM-ADE=VE-MAD=

1

3

(

1

2

AD•DM)•EF=

2

12

，∴EF=

2

2

，
∴△DMB中，BM=

2

，且EF∥BM，
∴EF為中位線，E為BD的中點．

點評：折疊問題一般是重點分析折疊后未變的平行與垂直關(guān)系，線段的長，角度的不變的量；作為探究性問題，先把結(jié)論當成已知，然后結(jié)合已知條件列出方程求解，若有符合題意的解，則結(jié)論成立，否則不成立．