Question

已知

a

=（sinωx，cosωx），

b

=（

3

cosωx，cosωx）．設(shè)f（x）=

a

•

b

+

3

2

且它的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）當(dāng)x∈（0，

π

2

）時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡可得f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+2，由周期公式可得ω=1；（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+2，
由x的范圍結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算可得．

解答： 解：（1）由題知f(x)=

a

•

b

+

3

2

=

3

sinωxcosωx+cos2ωx+

3

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+2=sin(2ωx+

π

6

)+2，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴T=

2π

2ω

=π，解得ω=1；
（2）由（1）知ω=1，∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+2，
∵x∈（0，

π

2

），∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2x+

π

6

)≤1，即

3

2

＜sin(2x+

π

6

)+2≤3，
∴函數(shù)f（x）在x∈(0，

π

2

)上的值域是(

3

2

，3]．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及數(shù)量積和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．