Question

已知，對(duì)于任意的多項(xiàng)式f（x）與任意復(fù)數(shù)z，f（z）=0?x-z整除f（x）．利用上述定理解決下列問題：
（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x²+x+1；
（2）求所有滿足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1的正整數(shù)n構(gòu)成的集合A．

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解定理,單位根及其應(yīng)用

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）解方程x²+x+1=0解得兩個(gè)根ω，ω²（ω=-

1

2

+

3

2

i），進(jìn)而可得x²+x+1=（x-ω）（x-ω²），
（2）f（x）=x²ⁿ+xⁿ+1由（1）x²+x+1=0有兩個(gè)根ω，ω²，（ω=-

1

2

+

3

2

i），可知ω³=1，進(jìn)而可證得當(dāng)n=3k+1，或3k+2時(shí)，滿足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1（其中k∈N）．

解答： 解：（1）令x²+x+1=0解得兩個(gè)根ω，ω²，這里ω=-

1

2

+

3

2

i
所以x2+x+1=(x-ω)(x-ω2)=(x+

1

2

-

3

2

i)(x+

1

2

+

3

2

i)
（2）記f（x）=x²ⁿ+xⁿ+1．x²+x+1=0有兩個(gè)根ω，ω²，
這里ω=-

1

2

+

3

2

i，且ω³=1，
當(dāng)n=3k+1，k∈N時(shí)，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=ω²+ω+1=0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=ω+ω²+1=0，
故此時(shí)滿足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
當(dāng)n=3k+2，k∈N時(shí)，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=ω+ω²+1=0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=ω²+ω+1=0，
故此時(shí)滿足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
當(dāng)n=3k，k∈N時(shí)，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=1+1+1≠0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=1+1+1=0，
故此時(shí)不滿足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
綜上所述：所有滿足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1的正整數(shù)n構(gòu)成的集合A={n|n=3k+1或n=3k+2，k∈N}

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解定理，復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，單位根的應(yīng)用，其中正確理解對(duì)于任意的多項(xiàng)式f（x）與任意復(fù)數(shù)z，f（z）=0?x-z整除f（x）．是解答的關(guān)鍵．