Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]時(shí)，證明：f（x₁）-f（x₂）≤e．

Answer 1

（Ⅰ）解：已知f′（x）=（ax+a-2）e^x，f'（1）=0，∴a=1．
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=（x-1）e^x，在x=1處取得極小值．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）e^x．
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f′（x）=（x-1）e^x≤0，∴f（x）在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）=（x-2）e^x＞0，∴f（x）在區(qū)間（1，2]單調(diào)遞增．
所以在區(qū)間[0，2]上，f（x）的最小值為f（1）=-e，又f（0）=-2，f（2）=0，
所以在區(qū)間[0，2]上，f（x）的最大值為f（2）=0．
對(duì)于x₁，x₂∈[0，2]，有f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x）．
所以f（x₁）-f（x₂）≤0-（-e）=e．
分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，建立等式關(guān)系，求出a即可；
（II）確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值，從而f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x），由此可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查函數(shù)的最值的求解，是一道綜合題．