Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 為偶函數(shù)
（1）求實數(shù)a的值；
（2）記集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ ，判斷λ與E的關(guān)系；
（3）當(dāng)x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）時，若函數(shù)f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求實數(shù)m，n值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù) 為偶函數(shù)．

∴f（﹣x）=f（x）

即 =

∴2（a+1）x=0，

∵x為非零實數(shù)，

∴a+1=0，即a=﹣1

（2）解：由（Ⅰ）得

∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }

而 = = = =

∴λ∈E

（3）解：∵ ＞0恒成立

∴ 在 上為增函數(shù)

又∵函數(shù)f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，

∴f（ ）=1﹣m2=2﹣3m，且f（ ）=1﹣n2=2﹣3n，

又∵ ，m＞0，n＞0

∴m＞n＞0

解得m= ，n=

【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù) 為偶函數(shù)f（﹣x）=f（x），構(gòu)造關(guān)于a的方程組，可得a值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中函數(shù)f（x）的解析式，將x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用對數(shù)的運算性質(zhì)求出λ，進而根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得答案（Ⅲ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，x∈ ，m＞0，n＞0構(gòu)造關(guān)于m，n的方程組，進而得到m，n的值．
【考點精析】利用奇偶性與單調(diào)性的綜合和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．