Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C:過點，離心率為，點分別為其左右焦點.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若上存在兩個點，橢圓上有兩個點滿足，三點共線，三點共線，且.求四邊形面積的最小值.

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為e=，得到一方程，再由橢圓過點，代入方程，再由a，b，c的關(guān)系，解方程組，即可得到a，b，從而求出橢圓方程；

（2）按直線斜率不存在和存在分別討論：當直線斜率不存在時，直線PQ的斜率為0，易得,.當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：與聯(lián)立消去y，得到x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式可將MN的長用k的代數(shù)式表示出來；此時由于直線，所以PQ的方程為：將它與橢圓方程聯(lián)立消去y，得到x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式可將PQ的長用k的代數(shù)式表示出來；從而四邊形面積S可表示為k的函數(shù)，進而就可求出S的最小值．

試題解析：（1）由題意得：，得，因為，得，所以，所以橢圓C方程為. 4分

（2）當直線斜率不存在時，直線PQ的斜率為0，易得,.

當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：與聯(lián)立得；

令，，.

， 6分

，直線PQ的方程為：

將直線與橢圓聯(lián)立得，

令,，；

， 8分

四邊形面積S=，

令，上式

=

所以.最小值為 12分

考點：1．橢圓的標準方程；2．直線與圓錐曲線的關(guān)系．