Question

已知下列四個命題：
①若一個圓錐的底面半徑縮小到原來的

1

2

，其體積縮小到原來的

1

4

；
②若兩組數(shù)據(jù)的標準差相等，則它們的平均數(shù)也相等；
③直線x+y+1=0與圓x²+y²=

1

2

相切；
④“10^a≥10^b”是“l(fā)ga≥lgb”的充分不必要條件．
其中真命題的序號是（　　）

• A、①②
• B、②④
• C、①③
• D、②③

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①利用圓錐的體積公式，可得結(jié)論；
②若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，它們的平均數(shù)不一定相等；
③求出圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小，即可判斷；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“l(fā)ga≥lgb”，反過來，“l(fā)ga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”．

解答： 解：①一個圓錐的底面半徑縮小到原來的

1

2

，則圓錐的底面積就縮小到原來的

1

4

，
又由體積公式得到圓錐的體積為V=

1

3

×底面積×高，
根據(jù)積的變化規(guī)律可得，體積縮小到原來的

1

4

，故①正確；
②若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，它們的平均數(shù)不一定相等，故②不正確；
③∵圓心到直線的距離為d=

|1|

1+1

=

2

2

=r，
∴直線x+y+1=0與圓x²+y²=

1

2

相切，故③正確；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“l(fā)ga≥lgb”，
反過來，“l(fā)ga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”，
則“10^a≥10^b”，是“l(fā)ga≥lgb”的必要不充分條件，故④不正確；
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷，考查直線與圓的位置關(guān)系，綜合性強．