若a，b，c是正實數(shù)，u=
c
a+2b
+
a
b+2c
+
b
c+2a
，則u的最小值為
 
．
考點：不等式的基本性質(zhì),基本不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：由柯西不等式可得[
a
b+2c
+
b
c+2a
+
c
a+2b
]•[a（b+2c）+b（c+2a）+c（a+2b）]≥（a+b+c）2 ①．再由（a+b+c）2≥3ab+3bc+3ac，可得u=
a
b+2c
+
b
c+2a
+
c
a+2b
≥
(a+b+c)2
a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)
，化簡可得故u的最小值為1．
解答： 解：∵a，b，c是正實數(shù)，u=
a
b+2c
+
b
c+2a
+
c
a+2b
，
由柯西不等式可得[
a
b+2c
+
b
c+2a
+
c
a+2b
]•[a（b+2c）+b（c+2a）+c（a+2b）]≥（a+b+c）2 ①．
由于a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3ab+3bc+3ac．
∴由①可得 u=
a
b+2c
+
b
c+2a
+
c
a+2b
≥
(a+b+c)2
a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)
≥
3ab+3bc+3ac
3ab+3bc+3ac
=1
故u=
a
b+2c
+
b
c+2a
+
c
a+2b
 的最小值為1
故答案為：1．
點評：本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，柯西不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
，
c
在同一平面內(nèi)，且
a
=（-1，2）．
（1）若
c
=（m-1，3m），且
c
∥
a
，求m的值；
（2）若|
a
-
b
|=3，且（
a
+2
b
）⊥（2
a
-
b
），求
a
-
b
與
b
的夾角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，a2=1，a8=64，則a5=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)全集U={x|1＜x＜7}，A={x|2≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}，則（∁UA）∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足a1=1，an•an+1=2n，則S2012=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C的圓心與點M（1，-1）關(guān)于直線x-y+1=0對稱，并且圓C與x-y+1=0相切，則圓C的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（k）=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
（k∈N*），用數(shù)學歸納法證明過程中從f（k） 到f（k+1），需要增加的代數(shù)式為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=
ax，x＜3
ax+b，x≥3
，若數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是等差數(shù)列，則a=
 
，b=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}的通項公式an=
1
n+1
+
n
，則該數(shù)列的前8項之和等于（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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