Question

已知函數(shù)f（x）=mx-

m

x

，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）當m=2時，若直線l過點（0，-4）且與曲線y=f（x）相切，求直線l的線方程；
（Ⅱ）當m=1時，判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無實根；
（Ⅲ）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）設出切點，求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求出切線斜率，根據(jù)直線l過點（0，-4），列出x₀的方程，并求出x₀，從而得到切線方程；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=x-

1

x

-2lnx，求出導數(shù)h′（x），判斷h（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，再由h（1）=0，從而說明f（x）=g（x）在（1，+∞）內(nèi)有無實數(shù)根；
（Ⅲ）根據(jù)條件可轉(zhuǎn)化為：當x∈（1，e]時，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，構(gòu)造函數(shù)G（x）=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，運用導數(shù)求出G（x）的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）令切點為（x₀，y₀），
當m=2時，f（x）=2x-

2

x

，f'（x）=2+

2

x2

，
∴直線l的斜率k=f'（x₀）=2+

2

x02

，
切線l的方程為y-(2x0-

2

x0

)=(2+

2

x02

)(x-x0)
又∵直線l過點（0，-4）
∴x₀=1，
∴切線方程為y=4x-4；
（Ⅱ）m=1時，令h（x）=f（x）-g（x）=x-

1

x

-2lnx，
則h'（x）=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又h（1）=0，∴f（x）=g（x）在（1，+∞）內(nèi)無實數(shù)根；       
（Ⅲ）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
則當x∈（1，e]時，x²-1＞0，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G（x）=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
G'（x）=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2-1)2

，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當x∈（1，e]時G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為G（e）=

4e

e2-1

，
則m的取值范圍是(-∞，

4e

e2-1

)．

點評：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間，求極值和最值，同時考查恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而運用導數(shù)求解，本題是一道綜合題．