Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其離心率e=

5

3

，短軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)Q（1，1），直線l：y=x+m（m∈R）和橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ的面積S最大？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，又e=

c

a

=

5

3

，2b=4，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m．m∈R和橢圓C相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．聯(lián)立方程

y=x+m x2 9 + y2 4 =1

，得13x²+18mx+9m²-36=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出當(dāng)m=±

26

2

時(shí)，S取得最大值3．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
又e=

c

a

=

5

3

，2b=4，a²=b²+c²，解得a=3，b=2．
故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m．m∈R和橢圓C相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
聯(lián)立方程得，

y=x+m x2 9 + y2 4 =1

，消去y得，13x²+18mx+9m²-36=0．
上式有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
△=324m²-4×13×9（m²-4）=144（13-m²）＞0．
且x1+x2=-

18m

13

，x1x2=

9m2-36

13

．
∴AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12 2

13

×

13-m2

．
點(diǎn)Q（1，1）到l：y=x+m的距離為

|m|

2

．
∴△ABQ的面積S=

1

2

×

12 2

13

×

13-m2

×

|m|

2

=

6

13

×

(13-m2)m2

≤

6

13

×

13-m2+m2

2

=3．
當(dāng)且僅當(dāng)13-m²=m²，即m=±

26

2

時(shí)，S取得最大值，最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．