Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過點A（1，

3

2

），離心率為

1

2

，左右焦點分別為F₁、F₂．過點F₁的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當△F₂AB的面積為

12 2

7

時，求l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

1

a2

+

9

4b2

=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由（1）知F₁（-1，0），直線l方程為y=k（x+1），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此利用韋達定理能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過點A(1，

3

2

)，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1…（1分）
∵離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，…（2分）
又∵a²=b²+c²…（3分）
解①②③得a²=4，b²=3…（4分）
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）由（1）得F₁（-1，0）
①當l的傾斜角是

π

2

時，l的方程為x=-1，焦點A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)
此時s△ABF2=

1

2

|AB|×|F1F2|=

1

2

×3×2=3≠

12 2

7

，不合題意．…（7分）
②當l的傾斜角不是

π

2

時，設(shè)l的斜率為k，
則其直線方程為y=k（x+1）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，消去y得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

…（9分）
∴S△F2AB=S△F1F2B+S△F1F2A=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)
=

1

2

×2|y1-y2|=|k(x1+1)-k(x2+1)|
=|k|

|x1-x2|2

=|k|

(x1+x2)2-4x1x2

=|k|

(- 8k2 4k2+3 )2-4× 4k2-12 4k2+3

=

12|k| k2+1

4k2+3

…（10分）  
又已知S△F2AB=

12 2

7

，
∴

12|k| k2+1

4k2+3

=

12 2

7

⇒17k4+k2-18=0，
∴（k²-1）（17k²+18）=0，
∴k²-1=0，解得k=±1，
故直線l的方程為y=±1（x+1），
即x-y+1=0或x+y+1=0．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和函數(shù)與方程思想的合理運用．