Question

設(shè)圓（x+1）²+y²=16的圓心為C，A（1，0）是圓內(nèi)一點(diǎn)，Q為圓周上任意一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡T的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1-2k恒過點(diǎn)P，且與曲線T相交于不同的兩點(diǎn)B、D，若

PB

•

PD

＞

5

4

，試求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)線段中垂線的性質(zhì)可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=4，故有|MC|+|MA|=4＞|AC|，根據(jù)橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出a、b值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)直線經(jīng)過定點(diǎn)P，

PB

、

PD

共線，想到用直線參數(shù)方程的幾何意義求解．

解答： 解：（1）由圓的方程可知，圓心C（-1，0），半徑等于4，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y ），
∵AQ的垂直平分線交CQ于M，
∴|MA|=|MQ|．
又|MQ|+|MC|=4（半徑），
∴|MC|+|MA|=4＞|AC|=2．
∴點(diǎn)M滿足橢圓的定義，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意P（2，1），直線參數(shù)方程為

x=2+tcosθ y=1+tsinθ

，則
代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得t²（3+sin²θ）+（12cosθ+8sinθ）t+4=0，
∵

PB

•

PD

＞

4

5

，
∴

4

3+sin2θ

＞

5

4

，
∴-

5

5

＜sinθ＜

5

5

，
∴k=tanθ∈(-

1

2

，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出|MC|+|MA|=4＞|AC|，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．