Question

6．（理）已知向量$\overrightarrow a=（m，1-n）$，$\overrightarrow b=（1，2）$，其中m＞0，n＞0，若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用向量共線定理可得：n+2m=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，
∴1-n-2m=0，
化為n+2m=1，
又m＞0，n＞0，
則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（n+2m）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=$\sqrt{2}$m=$\sqrt{2}$-1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．