【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)， 為橢圓上異于的點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若，以為直徑的圓過點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）設(shè)直線與軸分別交于，證明： 為定值.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，左焦點(diǎn)，可求出和，從而求出橢圓的方程；（2）設(shè)，則，且，由，以為直徑的圓過點(diǎn)可得即，從而可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)，則的方程為，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則 ，化簡求得.

試題解析：（1）∵且

∴， .

∴橢圓方程為.

（2）設(shè)，則，且.①

∵以為直徑的圓過點(diǎn)

∴

∴，

又∵，

∴.②

由①②解得： ，或（舍）

∴.

又∵圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，

∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（3）設(shè)，則的方程為，若不存在，顯然不符合條件.

令得；同理，

∴ 為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年，有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

（1）估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布， 近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用該正態(tài)分布，求；

（3）在（2）的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

（�。┑梅植坏陀�可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于則只有1次；

（ⅱ）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)概率如下：

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記 (單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附： ，

若，則， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道， ， 將廣場分割為個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)在半圓弧上， 分別與， 相交于點(diǎn)， .（道路寬度忽略不計(jì)）

（1）若經(jīng)過圓心，求點(diǎn)到的距離；

（2）設(shè)， .

①試用表示的長度；

②當(dāng)為何值時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】長方形中， ， 是中點(diǎn)（圖1）．將△沿折起，使得（圖2）．在圖2中：

（1）求證：平面 平面；

（2）若， ，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年交警統(tǒng)計(jì)了某路段過往車輛的車速大小與發(fā)生交通事故的次數(shù)，得到如表所示的數(shù)據(jù)：

車速x（km/h）

60

70

80

90

100

事故次數(shù)y

1

3

6

9

11

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+；

（3）根據(jù)（2）所得速度與事故發(fā)生次數(shù)的規(guī)律，試說明交管部門可采取什么措施以減少事故的發(fā)生．

附：=，=-

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某大豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了4月1日至4月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：

日期

4月1日

4月2日

4月3日

4月4日

4月5日

溫差攝氏度

8

12

13

11

10

發(fā)芽數(shù)顆

18

26

30

25

20

該學(xué)習(xí)組所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天的數(shù)據(jù)的概率；

（2）若選取的是4月1日與4月5日這2組數(shù)據(jù)做檢驗(yàn)，請根據(jù)4月2日至4月4日這3組數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）所得的線性回歸方程是否可靠？

參考公式和數(shù)據(jù)：，；，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為了解高一學(xué)生的視力健康狀況，在高一年級體檢活動(dòng)中采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表，按照《中國學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測工作手冊》的方法對1039名學(xué)生進(jìn)行了視力檢測，判斷標(biāo)準(zhǔn)為：雙眼裸眼視力為視力正常， 為視力低下，其中為輕度， 為中度， 為重度.統(tǒng)計(jì)檢測結(jié)果后得到如圖所示的柱狀圖.

(1)求該校高一年級輕度近視患病率；

(2)根據(jù)保護(hù)視力的需要，需通知檢查結(jié)果為“重度近視”學(xué)生的家長帶孩子去醫(yī)院眼科進(jìn)一步檢查和確診，并開展相應(yīng)的矯治，則該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為多少人？

(3)若某班級6名學(xué)生中有2人為視力正常，則從這6名學(xué)生中任選2人，恰有1人視力正常的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，且，,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①設(shè)某大學(xué)的女生體重與身高具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為 ，則若該大學(xué)某女生身高增加，則其體重約增加；

②關(guān)于的方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

③過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦，為原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；

④已知是橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，則直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍是.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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