Question

若x∈[0，+∞），則下列不等式恒成立的有：

 

 （填上相應(yīng)的序號(hào)）
①e^x≤1+x+x²
②

1

x+1

≤1-

1

2

x+

1

4

x²
③cosx≥1-

1

2

x²
④ln（1+x）≥x-

1

8

x²．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,不等關(guān)系與不等式

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：對(duì)于①，取x=3，e³＞1+3+3²，即可判斷；
對(duì)于②，令x=1，

1

2

，計(jì)算可得結(jié)論；
對(duì)于③，構(gòu)造函數(shù)h（x）=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，從而可得函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)增，故成立；
對(duì)于④，取x=3，計(jì)算可得結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于①，取x=3，e³＞1+3+3²，所以不等式不恒成立；
對(duì)于②，x=1時(shí)，左邊=

1

2

，右邊=0.75，不等式成立；
x=

1

2

時(shí)，左邊=

6

3

，右邊=

13

16

，左邊大于右邊，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
對(duì)于③，構(gòu)造函數(shù)h（x）=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，
∴h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)增，∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1-

1

2

x²，故③恒成立；
對(duì)于④，取x=3，ln（1+3）＜3-

9

8

，所以不等式不恒成立；
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查大小比較，考查構(gòu)造函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．