Question

在△ABC中，BC=

2

，AC=1，以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)）．當(dāng)∠C變化時，線段CD長的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：在△ABC中，由正弦定理得BDsin∠ABC=sin∠ACB，在△BCD，△ABC中由余弦定理可得CD²=BD²+BC²-2BD•BCcos（90°+∠ABC）=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB+2+2

2

sin∠ACB，可化為
5+4sin（∠ACB-45°），由此可求答案．

解答： 解：如右圖：
∵AB=BD，
∴在△ABC中，由正弦定理得

AC

sin∠ABC

=

AB

sin∠ACB

=

BD

sin∠ACB

，
∴BDsin∠ABC=sin∠ACB，
在△BCD中，CD²=BD²+BC²-2BD•BCcos（90°+∠ABC）
=AB²+2+2

2

BDsin∠ABC=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB+2+2

2

sin∠ACB
=5-2

2

cos∠ACB+2

2

sin∠ACB
=5+4sin（∠ACB-45°），
∴當(dāng)∠ACB=135°時CD²最大為9，CD最大值為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評：該題考查正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬中檔題．