Question

設(shè)公差d≠0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，且a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1

2n

（n∈N^*），求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）若數(shù)列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

（n∈N^*），求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后直接由a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列列式求解；
（Ⅱ）直接利用錯位相減法求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）把a(bǔ)_n=2n-1代入

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，取n=n-1得另一遞推式，作差后求出{b_n}的通項(xiàng)公式，由（Ⅱ）可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，∴a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d．
由a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍）或d=2．
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由a_n=2n-1，bn=

1

2n

，得an•bn=

2n-1

2n

．
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

    ①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

．
∴Tn=3-

2n+3

2n

；
（Ⅲ）由a_n=2n-1，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，得
b1+

1

3

b2+

1

5

b3+…+

1

2n-1

bn=1-

1

2n

  ③
b1+

1

3

b2+

1

5

b3+…+

1

2n-3

bn-1=1-

1

2n-1

 （n≥2）④
③-④得：

1

2n-1

bn=

1

2n-1

-

1

2n

 （n≥2），
∴bn=(2n-1)

1

2n

 （n≥2），而b1=

1

2

適合上式，
∴bn=(2n-1)

1

2n

．
由（Ⅱ）知Tn=3-

2n+3

2n

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中高檔題．