Question

據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，通過(guò)這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時(shí)間的頻數(shù)分布如下表．
（Ⅰ）為進(jìn)行某項(xiàng)研究，從所用時(shí)間為12天的60輛汽車中隨機(jī)抽取6輛．
（i）若用分層抽樣的方法抽取，求從通過(guò)公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；
（ii）若從（i）的條件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取兩輛汽車，求這兩輛汽車至少有一輛通過(guò)公路1的概率．

所用的時(shí)間（天）	10	11	12	13
通過(guò)公路1的頻數(shù)	20	40	20	20
通過(guò)公路2的頻數(shù)	10	40	40	10

（Ⅱ）假設(shè)汽車A只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)．為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙，估計(jì)汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路徑．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）（i）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，直接求出從通過(guò)公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛即可；
（ii）給抽取的汽車編號(hào)，列舉任意抽取2輛的素有基本事件，找出兩輛汽車至少有一輛通過(guò)公路1包含的基本事件，利用古典概型計(jì)算即可；
（Ⅱ）通過(guò)頻率分布表可分別計(jì)算出汽車A，B在11，12天完成運(yùn)輸?shù)母怕�，比較其大小，即可做出選擇．

解答： 解：（Ⅰ）（i）公路1抽取6×

20

20+40

=2輛汽車，
公路2抽取6×

40

20+40

=4輛汽車．
（ii）通過(guò)公路1的兩輛汽車分別用A₁，A₂表示，
通過(guò)公路2的4輛汽車分別用B₁，B₂，B₃，B₄表示，
任意抽取2輛汽車共有15種可能的結(jié)果：
A₁A₂，A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃，A₁B₄，
A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃，A₂B₄，
B₁B₂，B₁B₃，B₁B₄，
B₂B₃，B₂B₄，
B₃B₄．
其中至少有1輛經(jīng)過(guò)公路1的有9種，
∴至少有1輛經(jīng)過(guò)1號(hào)公路的概率

3

5

．
（Ⅱ）頻率分布表，如下：

所用時(shí)間	10	11	12	13
公路1的頻率	0.2	0.4	0.2	0.2
公路2的頻率	0.1	0.4	0.4	0.1

設(shè)C₁，C₂分別表示汽車A在前11天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙；
D₁，D₂分別表示汽車B在前12天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙．
P（C₁）=0.2+0.4=0.6，
P（C₂）=0.1+0.4=0.5，
∴汽車A應(yīng)選擇公路1．
P（D₁）=0.2+0.4+0.2=0.8，
P（D₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
∴汽車B應(yīng)選擇公路2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣的應(yīng)用，古典概型的計(jì)算，利用頻率分布表求概率，以及概率的實(shí)際意義等知識(shí)，屬于中檔題．