Question

已知銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)為a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列，且a²-c²=ac-bc，
（1）求∠A的大小；
（2）若y=cos²B+cos²C，求y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：解三角形

分析：（1）等比數(shù)列 可推知b²=ac 代入原式，求得a²=b²+c²-bc，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得cosA的值，進(jìn)而求得A的值．
（2）利用三角形的內(nèi)角和以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)角的范圍，求出函數(shù)的值域即可．

解答： 解：（1）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，代入原式得a²-c²=b²-bc，即a²=b²+c²-bc．
根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bcCosA，∴2cosA=1，cosA=

1

2

，∴A=60°．
（2）由 cos²B+cos²C
=

1+cos2B

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

cos2B+

1

2

cos（

4π

3

-2B）
=1+

1

2

cos2B+

1

2

（cos

4π

3

cos2A+sin

4π

3

sin2B）
=1+

1

4

cos2B-

3

4

sin2B
=1+2cos（2B+

π

3

）．
再由∵a，b，c成等比數(shù)列
A＜

π

3

＜C，可得

π

3

＜2B+

π

3

＜π，
由于函數(shù)y=1+2cos（2B+

π

6

）在2B+

π

3

∈（

π

3

，π）上是減函數(shù)，
∴y∈（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和正弦定理及余弦定理的運(yùn)用．正弦定理和余弦定理是解三角形問(wèn)題的常用的方法，通過(guò)邊和角的互化，達(dá)到解題的目的，屬于中檔題．