Question

已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=ax+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）對(duì)x∈D，如果函數(shù)F（x）的圖象在函數(shù)G（x）的圖象的下方（沒有公共點(diǎn)），則稱函數(shù) F（x）在D上被函數(shù)G（x）覆蓋，若函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈（1，+∞）上被函數(shù)g（x）=x³覆蓋，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，[ln（-x）]′=

1

x

）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)設(shè)x＜0，則-x＞0，代入已知可求f（-x），結(jié)合奇函數(shù)f（x）=-f（-x），可求
（II）由（I）中函數(shù)的解析式，我們可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分類討論后可得當(dāng)

2

a

＞-e時(shí)，f(x)min=f(

2

a

)；當(dāng)

2

a

≤-e時(shí)f（x）_min=f（-e），列出方程求出參數(shù)a的值．
（Ⅲ）由題意要證函數(shù)F（x）在區(qū)間x∈（1，+∞）上被函數(shù)g（x）=x³覆蓋等價(jià)于需證x³＞ax+2lnx對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，則-x＞0，
由已知f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x）∴f（x）=ax-2ln（-x），
∴f（x）=

ax+2lnx，(x＞0) ax-2ln(-x)，(x＜0)

（Ⅱ）假設(shè)存在a＜0滿足題意，
∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-e，0），
∴f′（x）=a-

2

x

=

a(x- 2 a )

x

，x∈[-e，0），
令f′(x)=0，x=

2

a

當(dāng)

2

a

＞-e即a＜-

2

e

時(shí)，f（x）在(-e，

2

a

)上單調(diào)遞減，(

2

a

，0)上單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(

2

a

)=4，解得a=-2e，
當(dāng)

2

a

≤-e即-

2

e

≤a＜0時(shí)，f（x）在[-e，0]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-e）=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

，矛盾，
總之，存在a滿足題意．
（Ⅲ）由題意，x³＞ax+2lnx對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
即a＜x2-

2lnx

x

對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
設(shè)h（x）=x2-

2lnx

x

，x∈（1，+∞），則h′(x)=2x-

2-2lnx

x2

=

2x3+2lnx-2

x2

，
設(shè)Φ（x）=2x³+2lnx-2，x∈（1，+∞），
則Φ′（x）=6x2+

2

x

＞0即Φ（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴Φ（x）＞Φ（1）=0
則h′（x）＞0即h（x）=x2-

2lnx

x

在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=1若a＜h（x）對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，則a≤1即可
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]

點(diǎn)評(píng)：第一問利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解，比較常見，第三問是一道證明題，定義了一個(gè)新定義覆蓋的概念，將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的恒成立的問題，就會(huì)比較簡單；