Question

已知定義在[0，1]上的函數滿足：①f（0）=f（1）=0，②對于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．若當所有的x，y∈[0，1]時，|f（x）-f（y）|＜k，則k的最小值為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：依題意構造函數f（x）=

mx m-mx

(0＜m＜

1

2

)，分四種情況討論，可證得對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

恒成立，從而可得k≥

1

4

，繼而可得答案．

解答： 解：依題意，定義在[0，1]上的函數y=f（x）的斜率|m|＜

1

2

，
依題意，m＞0，構造函數f（x）=

mx m-mx

(0＜m＜

1

2

)，滿足f（0）=f（1）=0，|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．
當x∈[0，

1

2

]，且y∈[0，

1

2

]時，|f（x）-f（y）|=|kx-ky|=k|x-y|≤k|

1

2

-0|=k×

1

2

＜

1

4

，
當x∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]時，|f（x）-f（y）|=|kx-（k-ky）|=|k（x+y）-k|≤|k（1+

1

2

）-k|=k×

1

2

＜

1

4

，
當x∈[

1

2

，1]，且y∈[0，

1

2

]時，同理可得，|f（x）-f（y）|＜

1

4

，
當x∈[

1

2

，1]，且y∈[

1

2

，1]時，|f（x）-f（y）|=|（k-kx）-（k-ky）|=k|x-y|≤k×（1-

1

2

）=

k

2

＜

1

4

．
綜上所述，對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

，
∵對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜k恒成立，
∴k≥

1

4

，
即k的最小值為

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查構造函數思想、分類討論思想、函數方程思想與等價轉化思想的綜合運用，考查分析、推理及運算能力，屬于難題．