Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a_n+a_n+1=n+

1

2

．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若a₁，a_m，a_3m成等比數(shù)列，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）解法一：利用基本量法，求出首項(xiàng)與公差，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；解法二：求出a_n+a_n+1=2a₁+（2n-1）•d=2dn+2a₁-d，所以有2dn+2a1-d=n+

1

2

對(duì)n∈N^*成立，求出首項(xiàng)與公差，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用等差數(shù)列的求和公式，可求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若a₁，a_m，a_3m成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求m的值．

解答： 解：（1）解法一：設(shè){a_n}的公差為d，因?yàn)?span id="ksibow6" class="MathJye">an+an+1=n+

1

2

，
所以有

a1+a2=1+ 1 2 a2+a3=2+ 1 2

，兩式相減得到，2d=1，即d=

1

2

…．（2分）
代入得到a1=

1

2

…．（4分）
所以an=

1

2

+(n-1)•

1

2

=

n

2

…．（6分）
解法二：設(shè){a_n}的公差為d，
則a_n=a₁+（n-1）•d，a_n+1=a₁+n•d，…．（2分）
所以a_n+a_n+1=2a₁+（2n-1）•d=2dn+2a₁-d
所以有2dn+2a1-d=n+

1

2

對(duì)n∈N^*成立，
所以有

2d=1 2a1-d= 1 2

，解得

d= 1 2 a1= 1 2

           …．（4分）
所以an=

1

2

+(n-1)•

1

2

=

n

2

…．（6分）
（2）因?yàn)?span id="b3bwgvx" class="MathJye">Sn=

(a1+an)

2

n，所以Sn=

(n+1)n

4

…．（9分）
（3）因?yàn)閍₁，a_m，a_3m成等比數(shù)列，所以(am)2=a1a3m…．（10分）
即

m2

4

=

1

2

•

3m

2

…．（11分）
解得m=3，m=0（舍掉）          
所以m=3…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．