Question

在△ABC中，若

cosA

sinB

+

cosB

sinA

=2，且△ABC的周長為12．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：解三角形,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）通過已知條件，化簡表達(dá)式，討論sinA＞cosB與sinA＜cosB，方程不成立推出sinA=cosB，然后證明△ABC為直角三角形；
（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因為L=a+b+c，c=

a2+b2

，兩次運用均值不等式即可求解△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）在△ABC中sinA＞0，sinB＞0，
∵

cosA

sinB

+

cosB

sinA

=2，
∴sinAcosA+cosBsinB=2sinBsinA，
可得sinAcosA-sinBsinA=sinBsinA-cosBsinB
可得sinA（cosA-sinB）=sinB（sinA-cosB），…①．
∵A、B、C是三角形內(nèi)角，由①可得若sinA＞cosB，則cosA＞sinB，
若sinA＜cosB，則cosA＜sinB，這都是不可能的，
∴sinA=cosB，cosA=sinB，可得A=B=45°，∴C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（也可以sinA=sin（90°-B），∴A+B=90°，∴C=90°，∴△ABC是直角三角形．）
（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S=

1

2

ab．
由已知，得a+b+c=12，∴a+b+

a2+b2

=12，
∴12=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=（2+

2

）

ab

，
∴

ab

≤

12

2+ 2

=12-6

2

，∴ab≤（12-6

2

）²=216-132

2

，
∴S=

1

2

ab≤108-66

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12-6

2

時，S取最大值．

點評：本題考查解三角形，分類討論思想的應(yīng)用，利用均值不等式解決實際問題時，列出有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式或方程式是均值不等式求解或轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．