Question

18．已知函數f（x）=x（e^x+ae^-x）（x∈R），若函數f（x）是偶函數，記a=m，若函數f（x）為奇函數，記a=n，則m+2n的值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． -1

Answer 1

分析 利用函數f（x）=x（e^x+ae^-x）是偶函數，得到g（x）=e^x+ae^-x為奇函數，然后利用g（0）=0，可以解得m．函數f（x）=x（e^x+ae^-x）是奇函數，所以g（x）=e^x+ae^-x為偶函數，可得n，即可得出結論．

解答 解：設g（x）=e^x+ae^-x，因為函數f（x）=x（e^x+ae^-x）是偶函數，所以g（x）=e^x+ae^-x為奇函數．
又因為函數f（x）的定義域為R，所以g（0）=0，
即g（0）=1+a=0，解得a=-1，所以m=-1．
因為函數f（x）=x（e^x+ae^-x）是奇函數，所以g（x）=e^x+ae^-x為偶函數
所以（e^-x+ae^x）=e^x+ae^-x即（1-a）（e^-x-e^x）=0對任意的x都成立
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1
故選：B．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，特別是要掌握奇函數的一個性質，若奇函數f（x）過原點，則必有f（0）=0，要靈活使用奇函數的這一性質．