Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（1）若a=1時函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1對任意x∈[-1，2]，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1時，函數(shù)有三個互不相同的零點，轉(zhuǎn)化為x³+x²-x+m=0即m=-x³-x²+x有三個互不相等的實數(shù)根．令g（x）=-x³-x²+x，利用導(dǎo)數(shù)可得g（x）的極值，借助圖象可得m的范圍；
（2）要使得f（x）≤1對任意x∈[-1，2]恒成立，可轉(zhuǎn)化為[f（x）]_max≤1，利用導(dǎo)數(shù)可求得[f（x）]_max，然后分離參數(shù)m后可轉(zhuǎn)化為求關(guān)于a的函數(shù)最值問題解決；

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，．
∵函數(shù)有三個互不相同的零點，
∴x³+x²-x+m=0即m=-x³-x²+x有三個互不相等的實數(shù)根．
令g（x）=-x³-x²+x，則g'（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1）．
令g'（x）＞0，解得-1＜x＜

1

3

；
令g'（x）＜0，解得x＜-1或x＞

1

3

，
∴g（x）在（-∞，-1）和(

1

3

，+∞)上均為減函數(shù)，在(-1，

1

3

)上為增函數(shù)，
∴[g（x）]_極小值=g（-1）=-1，[g（x）]_極大值=g（

1

3

）=

5

27

，
∴m的取值范圍是(-1，

5

27

)．
（2）∵f′(x)=3x2+2a x-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，且a＞0，
∴當(dāng)x＜-a或x＞

a

3

時，f'（x）＞0；當(dāng)-a＜x＜

a

3

時，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-a，

a

3

)．
當(dāng)a∈[3，6]時，

a

3

∈[1，2]，-a≤-3．
又x∈[-1，2]，∴f（x）的最大值為f（-1）和f（2）中的較大者．
∵f（-1）-f（2）=3a²-3a-9＞0，
∴[f(x)]max=f(-1)=-1+a+a2+m．
要使得f（x）≤1對任意x∈[-1，2]恒成立，即[f（x）]_max≤1，亦即-1+a+a²+m≤1，即當(dāng)a∈[3，6]時，m≤-a²-a+2恒成立．
∵-a²-a+2在a∈[3，6]上的最小值為-40，
∴m的取值范圍是（-∞，-40]．

點評：本題考查函數(shù)的零點、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用導(dǎo)數(shù)知識解決問題的能力．