Question

12．求下列雙曲線的實(shí)軸、虛軸的長，頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率：
（1）x²-8y²=32；
（2）9x²-y²=81；
（3）x²-y²=-4；
（4）$\frac{{x}^{2}}{49}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=-1．

Answer 1

分析 先求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出a，b，c的值，由此利用雙曲線性質(zhì)能求出雙曲線的實(shí)軸、虛軸的長，頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率．

解答 解：（1）∵x²-8y²=32，∴$\frac{{x}^{2}}{32}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴$a=\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{4}$=2，c=$\sqrt{32+4}$=6，
∴雙曲線的實(shí)軸2a=8$\sqrt{2}$、虛軸的長2b=4，
頂點(diǎn)A₁（-4$\sqrt{2}$，0），A₂（4$\sqrt{2}$，0）、
焦點(diǎn)的坐標(biāo)F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵9x²-y²=81，∴$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{81}=1$，
∴a=$\sqrt{9}$=3，b=$\sqrt{81}$=9，c=$\sqrt{9+81}$=3$\sqrt{10}$，
∴雙曲線的實(shí)軸2a=6、虛軸的長2b=18，
頂點(diǎn)A₁（-3，0），A₂（3，0）、
焦點(diǎn)的坐標(biāo)F₁（-3$\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₂（3$\sqrt{10}$，0），
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
（3）∵x²-y²=-4，∴$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
∴a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{4}$=2，c=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的實(shí)軸2a=4、虛軸的長2b=4，
頂點(diǎn)A₁（0，-2），A₂（0，2）、
焦點(diǎn)的坐標(biāo)F₁（0，-2$\sqrt{2}$），F(xiàn)₂（0，2$\sqrt{2}$），
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
（4）∵$\frac{{x}^{2}}{49}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=-1，∴$\frac{{y}^{2}}{25}-\frac{{x}^{2}}{49}$=1，
∴a=$\sqrt{25}$=5，b=$\sqrt{49}$=7，c=$\sqrt{25+49}$=$\sqrt{74}$，
∴雙曲線的實(shí)軸2a=10、虛軸的長2b=14，
頂點(diǎn)A₁（0，-5），A₂（0，5）、
焦點(diǎn)的坐標(biāo)F₁（0，-$\sqrt{74}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{74}$），
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的實(shí)軸、虛軸的長，頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．