Question

命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），命題q：實數(shù)x滿足

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）由a=1，p∧q為真，可得p，q都為真．分別化簡命題p，q即可得出．
（2）命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），利用一元二次不等式的解法可得解得a＜x＜3a．￢p，q：2＜x≤3，則￢q：x≤2或x＞3．利用￢p是￢q的充分不必要條件，即可得出．

解答： 解：（1）∵a=1，p∧q為真，∴p，q都為真．
p：x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3．
命題q：實數(shù)x滿足

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

，化為

-1＜x≤3 x＞2或x＜3

，解得2＜x≤3．
∴

1＜x＜3 2＜x≤3

，解得2＜x＜3．
∴實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
（2）命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．
￢p：x≤a或x≥3a．
q：2＜x≤3，則￢q：x≤2或x＞3．
∵￢p是￢q的充分不必要條件，
∴

0＜a≤2 3a＞3

，解得1＜a≤2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

點評：本題考查了一元二次不等式、分式不等式的解法、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．