Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AC=4，延長CB至D，使CB=BD．
（I）求證：直線C₁B∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求平面AB₁D平面ACB所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)C₁B，由已知條件推導(dǎo)出四邊形C₁BDB₁是平行四邊形，由此能證明直線C₁B∥平面AB₁D．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AB₁D與平面ACB所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)C₁B，則C₁B₁=CB=DB，又C₁B₁∥BD，
所以，四邊形C₁BDB₁是平行四邊形，…（4分）
所以，C₁B∥B₁D，又B₁D?平面AB₁D，
所以，直線C₁B∥平面AB₁D．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由于CB=BD=BA，
所以，∠DAC=90°，
以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B₁（

3

，1，4），D（2

3

，0，0）

AD

=(2

3

，0，0)，

AB1

=(

3

，1，4)…（10分）
設(shè)平面AB₁D的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AD =2 3 x=0 n • AB1 = 3 x+y+4z=0

，
所以

x=0 y=-4z

取z=1，則

n

=（0，-4，1）…（12分）
取平面ACB的法向量為

m

=（0，0，1）
則cos＜

n

，

m

＞=

1

17

，所以sin＜

n

，

m

＞

4 17

17

，
所以，平面AB₁D與平面ACB所成角的正弦值為

4 17

17

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．