Question

已知函數(shù)y=-3x²-12x+1，x∈（-∞，-2），判斷該函數(shù)的單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)，對(duì)稱軸是x=-2，得出f（x）在x∈（-∞，-2）時(shí)是增函數(shù)；
②利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在x∈（-∞，-2）時(shí)是增函數(shù)即可．

解答： 解：①函數(shù)y=f（x）=-3x²-12x+1是二次函數(shù)，圖象是拋物線，且開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是x=-2；
在對(duì)稱軸的右側(cè)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在x∈（-∞，-2）時(shí)是增函數(shù)；
②證明：任取x₁、x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（-3x12-12x₁+1）-（-3x22-12x₂+1）=3（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）；
∵x₁＜x₂＜-2，∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂+4＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)y=f（x）在x∈（-∞，-2）時(shí)是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性及其證明問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，是基礎(chǔ)題．