Question

（本題滿分１４分）已知函數(shù)，,．

（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為,記,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

Answer 1

（1）

（2）

【解析】

試題解析：（1），x∈[0，2] 1分

由f′（x）＞0解得1＜x≤2，由f′（x）＜0解得0≤x＜1 2分

∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1, 2]，單調(diào)遞減區(qū)間為[0,1），

即當(dāng)x＝1時， f（x）取極小值，也是最小值． 3 分

要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0, 2]內(nèi)恰有兩個零點，則有

，解得或，

∴a的取值范圍是 5分

（2）若a＝－1，，∴，

易知f（x）在[-3， -1]上單調(diào)遞增，在[-1，1]單調(diào)遞減，在[1，2]單調(diào)遞增． 6 分

①當(dāng)t∈[-3，-2]時，t＋3∈[0,1]，-1∈[t,t＋3]，

∴f（x）在[t，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，t＋3]單調(diào)遞減，

因此f（x）在區(qū)間[t,t＋3]上的最大值為M（t）＝f（－1）＝－, 7 分

而最小值m（t）為 f（t）與 f（t＋3）的較小者．

由 f（t＋3）－f（t）＝3（t＋1）（t＋2），當(dāng)t∈[-3，-2]，f（t＋3）－f（t）≥0，

∴f（t＋3）≥f（t），故m（t）＝f（t）， 8 分

所以，

又∵f（t）在[-3,-2]上單調(diào)遞增，∴f（t）≤f（－2）＝－ 9分

所以F（t）在區(qū)間[-3,-2]上的最小值為 10 分

②當(dāng)t∈[-2，-1]時，t＋3∈[1, 2]，且-1,1∈[t，t＋3]．

下面比較 f（-1）， f（1）， f（t）， f（t＋3）的大�。�

由 f（x）在[-2，-1]，[1， 2]上單調(diào)遞增，

有f（－2）≤f（t）≤f（－1），f（1）≤f（t＋3）≤f（2）． 11 分

又由，

從而， 12 分

∴ 13 分

綜上，函數(shù)F（t）在區(qū)間[-3,-1]上的最小值為． 14分

考點： 考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值得應(yīng)用．