Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E為PD的中點．
（Ⅰ）設PD與平面PAC所成的角為α，二面角P-CD-A的大小為β，求證：tanα=cosβ．
（Ⅱ）在線段AB上是否存在一點F（與A，B兩點不重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求AF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明DC⊥面PAC，可得PD與平面PAC所成的角為α，二面角P-CD-A的大小為β，從而證明tanα=cosβ．
（Ⅱ）解法一：取AD的中點Q，連PQ交AE于M，證明四邊形AMNF為平行四邊形，可得AE∥平面PCF，即可得出結(jié)論；解法二：建立直角坐標系，假設存在符合條件的點F（a，0，0）（0＜a＜1），則

CF

=(a-1，-1，0)，

CP

=(-1，-1，2)，

AE

=(0，1，1)共面，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：由題意，AC=

2

，CD=

2

，
又AD=2，∴AC⊥CD（1分）
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，∴DC⊥面PAC（2分）
∴α=∠DPC，
∴tanα=

DC

PC

=

2

6

=

3

3

（3分）
β=∠PCA，cosβ=

AC

PC

=

2

6

=

3

3

，（5分）
∴tanα=cosβ（6分）
（Ⅱ）解法一：取AD的中點Q，連PQ交AE于M，由△PAM與△QME相似得，

PM

MQ

=2，（7分）
在PC上取點N，使

PN

NC

=2，則MN∥QC，MN=

2

3

QC，（8分）
在AB上取點F使AF=

2

3

AB=

2

3

，
由于AB平行且等于QC，
故有AF平行且等于MN，（9分）
∴四邊形AMNF為平行四邊形，∴FN∥AE，（10分）
而FN?PFC，故有AE∥平面PCF，（11分）
∴在線段AB上存在一點F使得AE∥平面PCF，AF的長為

2

3

．（12分）
解法二：如圖，以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E為PD的中點，則E（0，1，1）（7分）
假設存在符合條件的點F（a，0，0）（0＜a＜1），則

CF

=(a-1，-1，0)，

CP

=(-1，-1，2)，

AE

=(0，1，1)共面，
故存在實數(shù)m，n，使得

CF

=m

CP

+n

AE

（9分）
即

a-1=-m -1=-m+n 0=2m+n

，故有

a= 2 3 m= 1 3 n=- 2 3

即F(

2

3

，0，0)，AF=

2

3

（11分）
即存在符合條件的點F，AF的長為

2

3

．（12分）

點評：本題考查線面平行，考查空間角，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行的判定是關(guān)鍵．