Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=29，S₁₀=S₂₀，
（1）問這個數(shù)列的前多少項和最大？并求此最大值．
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列前n項和公式求出d=-2，由此能求出a_n=-2n+31．由

-2n+31≥0 -2(n+1)+31≤0

，解得14.5≤n≤15.5，從而得到當(dāng)n=15時，S_n最大，并能求出最大值．
（2）由a₁=29，d=-2，得S_n=30n-n²．從而得到n≤15時，Tn=Sn=30n-n2；n≥16時T_n=2S₁₅-S_n，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁=29，S₁₀=S₂₀，
∴10×29+

10×9

2

d=20×29+

20×19

2

d，
解得d=-2，
∴a_n=-2n+31．
設(shè)這個數(shù)列的前n項和最大，
則需

-2n+31≥0 -2(n+1)+31≤0

，解得14.5≤n≤15.5，
∵n∈N^*，∴n=15，
∴當(dāng)n=15時，S_n最大，最大值為S15=15×29+

15×14

2

×(-2)=225．
（2）∵a₁=29，d=-2，
∴S_n=29n+

n(n-1)

2

×(-2)=30n-n²．
∵數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n，
∴n≤15時，Tn=Sn=30n-n2；
n≥16時，T_n=2S₁₅-S_n=n²-30n+450．
∴Sn=

30n-n2，n≤15 n2-30n+450，n≥16

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的最大值的求法，考查數(shù)列的前n的各項絕對值的和的求法，解題時要注意分類討論思想的合理運用．