Question

如圖，邊長為2的正三角形△ABC所在平面與等腰直角三角形DBC所在平面相互垂直，已知DB=DC，AE=1，AE⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD，由已知條件推導(dǎo)出AODE為平行四邊形，由此能證明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出AO∥DE，AO⊥BD，ED⊥BD，CD⊥BD，由此能證明BD⊥平面CDE．
（Ⅲ）由AO⊥平面BCD，知AO⊥DE，從而得到DE⊥CD，由此能求出三棱錐C-BDE的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD，
∵△DBC是等腰直角三角形，面ABC⊥面DBC，DO⊥BC，
∴DO⊥面ABC，DO=1，
又∵AE⊥平面ABC，∴AE∥OD，AE=1，
∴四邊形AODE為平行四邊形，∴AO∥DE，
∵OA?面ABC，DE?面ABC，∴DE∥平面ABC．…4分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得AO∥DE，
又AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD，∴ED⊥BD，
又∵CD⊥BD，CD∩ED=D，∴BD⊥平面CDE…8分
（Ⅲ）解：∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥DE，
∵AO∥DE∴DE⊥平面BCD，∴DE⊥CD，
∴S△EDC=

1

2

DE•DC=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，
∴VC-BDE=VB-CDE=

1

3

S△CDE•BD=

1

3

×

6

2

×

2

=

3

3

．…12分．

點(diǎn)評：本題綜合考察空間線、面的位置關(guān)系，體積的計算公式，中等題．解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．