Question

y=tan

x

2

滿足了下列哪些條件（填序號(hào)）

 

①定義域?yàn)閇x|x≠

π

4

+

kπ

2

，k∈Z]；
②以π為最小正周期；
③為奇函數(shù)；
④在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增；
⑤關(guān)于點(diǎn)（kπ，0），（k∈Z）成中心對(duì)稱．

Answer 1

考點(diǎn)：正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性,正切函數(shù)的單調(diào)性,正切函數(shù)的周期性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷所給的各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=tan

x

2

，∴

x

2

≠kπ+

π

2

，k∈z，即 x≠2kπ+π，k∈z，
故函數(shù)的定義域?yàn)?{x|x≠2kπ+π，k∈z }，故①不正確．
由于函數(shù)的最小正周期為

π

1 2

=2π，故②不正確．
令f（x）=y=tan

x

2

，則由它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且f（-x）=tan（-

x

2

）=-tan

x

2

=-f9x），
可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故③正確．
由于y=tanx在（0，

π

2

）上是增函數(shù)，故f（x）=tan

x

2

 在（0，π）上是增函數(shù)，
故f（x）=tan

x

2

在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，故④正確．
令

x

2

=

kπ

2

，k∈z，求得 x=kπ，k∈z，故f（x）=tan

x

2

關(guān)于點(diǎn)（kπ，0），（k∈Z）成中心對(duì)稱，
故⑤正確．
綜上可得，只有③④⑤正確，
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．