Question

某工廠有一批貨物由海上從甲地運往乙地，已知輪船的最大航行速度為60海里/小時，甲地至乙地之間的海上航行距離為600海里，每小時的運輸成本由燃料費和其他費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比，比例系數(shù)為0.5，其余費用為每小時1250元．
（Ⅰ）把全程運輸成本y（元）表示為速度x（海里/小時）的函數(shù)；
（Ⅱ）為使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比，比例系數(shù)為0.5，其余費用為每小時1250元，可求全程運輸成本y（元）表示為速度x（海里/小時）的函數(shù)；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出使全程運輸成本最小，輪船的多大速度．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：y=

600

x

(1250+0.5x2)=

750000

x

+300x，
即：y=

750000

x

+300x(0＜x≤60)…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y′=-

750000

x2

+300，
令y'=0，解得x=50，或x=-50（舍去）．                            …（8分）
當(dāng)0＜x＜50時，y'＜0
當(dāng)50＜x＜60時，y'＞0（均值不等式法同樣給分 ）           …（10分）
因此，函數(shù)y=

750000

x

+300x在x=50處取得極小值，也是最小值．
故為使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以50海里/小時的速度行駛．       …（12分）

點評：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．