Question

f（x）=|x|+|x+1|的最小值為m
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）x，y，z∈R，且2x+3y+3z=m求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用,不等式

分析：（Ⅰ）利用絕對值不等式f（x）=|x|+|x+1|≥|-x+x+1|=1，結(jié)合已知即可求得m的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式：（2x+3y+3z）²≤（2²+3²+3²）（x²+y²+z²）即可求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）≥|-x+x+1|=1，
∴f（x）的最小值為1，即m=1…（3分）
（Ⅱ）由柯西不等式得：（2x+3y+3z）²≤（2²+3²+3²）（x²+y²+z²）．
∵2x+3y+3z=1，
∴x2+y2+z2≥

1

22

，當且僅當

x

2

=

y

3

=

z

3

，即x=

1

11

，y=z=

3

22

時，等號成立，
∴x²+y²+z²的最小值為

1

22

．…（7分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法與柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力．