設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若tanC=
sinA+sinB
cosA+cosB
且c=
3
2
，求△ABC的面積的最大值．
考點：正弦定理
專題：解三角形
分析：依題意，可求得C=
π
3
，利用余弦定理與基本不等式可得ab≤
3
4
，從而可求得△ABC的面積的最大值．
解答： 解：∵tanC=
sinC
cosC
=
sinA+sinB
cosA+cosB
，
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，
整理得：sin（C-A）=sin（B-C），
∵A、B、C為△ABC的內角，
∴C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（舍），
∴C=
π
3
，又c=
3
2
，
由余弦定理得：
3
4
=c2=a2+b2-2abcosC≥2ab-2ab×
1
2
=ab，
即ab≤
3
4
（當且僅當a=b時取等號），
∴S△ABC=
1
2
absinC≤
1
2
×
3
4
×
3
2
=
3
3
16
．
點評：本題考查兩角差的正弦與正弦定理的綜合應用，考查基本不等式與三角形的面積公式，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

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試做一個上端開口的圓柱形容器，它的凈容積為V，壁厚為a（包括側壁和底部），其中V和a均為常數(shù)．問容器內壁半徑為多少時，所用的材料最少？

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f（x）=|x|+|x+1|的最小值為m
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）x，y，z∈R，且2x+3y+3z=m求x2+y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，用木板AB借助墻角MCN轉成一個三角形ABC區(qū)域，用以堆放谷物，已知∠MCN=
2
3
π，AB=
3
．
（Ⅰ）若AC=x，BC=y，試寫出一個關于變量x，y的方程；
（Ⅱ）若∠ABC=θ，試用θ表示△ABC的面積f（θ），并將f（θ）化簡為Asin（ωx+φ）+b的形式；
（Ⅲ）請你利用（Ⅰ）（Ⅱ）中的一個結論，求出△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某技術部門對工程師進行達標定級考核，需要經過兩輪測試，每輪測試的成績在9.5分及以上的定位該輪測試通過，只有通過第一輪測試的人員才能進行第二輪測試，兩輪測試的過程相互獨立，并規(guī)定
①兩輪測試均通過的一定為一級工程師；
②僅通過第一輪測試，而第二輪測試沒通過的定為二級工程師；
③第一輪測試沒通過的不予定級．
已知甲、乙、丙三位工程師通過第一輪測試的概率分別為
1
3
，
2
3
，
2
3
；通過第二輪測試的概率均為
1
2
．
（1）求經過本次考核，甲被定位以及工程師，乙被定位二級工程師的概率；
（2）求經過本次考核，甲、乙、丙三位工程師中恰有兩位被定位以及工程師的概率；
（3）設甲、乙、丙三位工程師中被定位一級工程師的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的程序框圖中，若輸入S=0，則輸出S的值為
 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圖中的程序執(zhí)行后輸出的結果是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若對滿足不等式組
y≥1
y≤2x
2x+3y≤12
的任意實數(shù)x，y，都有2x+y≥k成立，則實數(shù)k的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二項式（x+
1
x
）5的展開式中含x3的項的系數(shù)是
 
（用數(shù)字作答）．

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