設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
(1);(2).
解析試題分析:(1)由橢圓過(guò)已知點(diǎn)和橢圓的離心率可以列出方程組,解方程組即可,也可以分步求解;(2)直線方程和橢圓方程組成方程組,可以求解,也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系;然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.
試題解析:(1)將點(diǎn)代入橢圓C的方程得, 1分
由,得, 3分
橢圓C的方程為 4分
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線為 5分
設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為,
將直線方程代入橢圓C方程,整理得 7分
由韋達(dá)定理得
10分
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為
所以所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 12分.
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì);2.直線的方程;3.直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,橢圓=1(a>b>0)的上,下兩個(gè)頂點(diǎn)為A,B,直線l:y=-2,點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn),連接AP并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)N,連接PB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M,設(shè)AP所在的直線的斜率為k1,BP所在的直線的斜率為k2.若橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn)A(0,1).
(1)求k1·k2的值;
(2)求MN的最小值;
(3)隨著點(diǎn)P的變化,以MN為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn);如不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),以弦AB為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是直線上任意一點(diǎn),求證:直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知平面五邊形關(guān)于直線對(duì)稱(如圖(1)),,,將此圖形沿折疊成直二面角,連接、得到幾何體(如圖(2))
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面的所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F(xiàn),G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),分別以HF,EG所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.
(1)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上;
(2)若點(diǎn)N是直線l:y=x+2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn),直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T.是否存在點(diǎn)N,使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),是動(dòng)點(diǎn),且的三邊所在直線的斜率滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn),且,直線與交于點(diǎn),問(wèn):是否存在點(diǎn),使得和的面積滿足?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為軸,焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓: 的離心率為 ,點(diǎn) 為其下焦點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò) 的直線 :(其中)與橢圓 相交于兩點(diǎn),且滿足:.
(1)試用 表示 ;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為且與雙曲線:有共同焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點(diǎn)作的切線,求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,過(guò)橢圓上的一點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn),若點(diǎn)滿足,,連結(jié)交于點(diǎn),求證:.
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