已知函數(shù)f(x)=(log2x-2)(log4x-
1
2

(1)當(dāng)x∈[2,4]時(shí),求該函數(shù)的值域;
(2)若f(x)>mlog2x對于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范圍.
考點(diǎn):對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)f(x)=(log2x-2)(log4x-
1
2
)=
1
2
(log2x)2-
3
2
log2x+1,2≤x≤4,令t=log2x,則y=
1
2
t2-
3
2
t+1=
1
2
(t-
3
2
2-
1
8
,由此能求出函數(shù)的值域.
(2)令t=log2x,得
1
2
t2-
3
2
t+1>mt對于2≤t≤4恒成立,從而得到m<
1
2
t+
1
t
-
3
2
對于t∈[2,4]恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(t)=
1
2
t+
1
t
-
3
2
,t∈[2,4],能求出m的取值范圍.
解答: 解:(1)f(x)=(log2x-2)(log4x-
1
2

=
1
2
(log2x)2-
3
2
log2x+1,2≤x≤4
令t=log2x,則y=
1
2
t2-
3
2
t+1=
1
2
(t-
3
2
)2-
1
8
,
∵2≤x≤4,
∴1≤t≤2.
當(dāng)t=
3
2
時(shí),ymin=-
1
8
,當(dāng)t=1,或t=2時(shí),ymax=0.
∴函數(shù)的值域是[-
1
8
,0].
(2)令t=log2x,得
1
2
t2-
3
2
t+1>mt對于2≤t≤4恒成立.
∴m<
1
2
t+
1
t
-
3
2
對于t∈[2,4]恒成立,
設(shè)g(t)=
1
2
t+
1
t
-
3
2
,t∈[2,4],
∴g(t)=
1
2
t+
1
t
-
3
2
=
1
2
(t+
2
t
)-
3
2
,
∵g(t)=
1
2
t+
1
t
-
3
2
在[2,4]上為增函數(shù),
∴當(dāng)t=2時(shí),g(t)min=g(2)=0,
∴m<0.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的值域的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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對于向量
PAi
(i=1,2,…n),把能夠使得|
PA1
|+|
PA2
|+…+|
PAn
|取到最小值的點(diǎn)P稱為Ai(i=1,2,…n)的“平衡點(diǎn)”.如圖,矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,延長BC至E,使得BC=CE,聯(lián)結(jié)AE,分別交BD、CD于F、G兩點(diǎn).下列結(jié)論中,正確的是( 。
A、A、C的“平衡點(diǎn)”必為O
B、D、C、E的“平衡點(diǎn)”為D、E的中點(diǎn)
C、A、F、G、E的“平衡點(diǎn)”存在且唯一
D、A、B、E、D的“平衡點(diǎn)”必為F

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已知圓A:(x+3)2+y2=100,圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0),動圓P過B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切,求圓心P的軌跡方程.

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在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),橢圓G與拋物線y2=-8x有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且過點(diǎn)(-2,
2
).
(1)求橢圓G的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),若
OA
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),試探討直線l與圖形|x|+|y|≤
2
6
3
的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由.

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如圖,已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x-3y-7=0,點(diǎn)M(3,0)滿足
BM
=
MC
,點(diǎn)T(0,1)在邊AC所在直線上,且滿足
AT
AB
=0
(Ⅰ)求AC所在直線的方程;
(Ⅱ)求
AM
BC

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(2)求證:MN∥平面SAD;
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已知向量
a
=(-3,2),
b
=(2,1),
c
=(3,1),t∈R
(1)求|
a
-t
b
|的最小值及相應(yīng)的t的值;
(2)若
a
+t
b
c
共線,求t的值.

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如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF,BE與平面ABCD所成角的正切值為
2
2

(1)求證:AC∥平面EFB
(2)求三棱錐C-BEF的體積.

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