Question

在學習完統(tǒng)計學知識后，兩位同學對所在年級的1200名同學一次數(shù)學考試成績作抽樣調查，兩位同學采用簡單隨機抽樣方法抽取100名學生的成績，并將所選的數(shù)學成績制成如下統(tǒng)計表，設本次考試的最低期望分數(shù)為90分，優(yōu)等生最低分130分，并且考試成績分數(shù)在[85，90）的學生通過自身努力能達到最低期望分數(shù)．
（Ⅰ）求出各分數(shù)段的頻率并作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用所抽學生的成績在各個分數(shù)段的頻率表示概率，請估計該校學生數(shù)學成績達到最低期望的學生分數(shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）設考試成績在[85，90）的學生成績如下：80，81，83，84，86，89，從分數(shù)在[85，90）的學生中抽取2人出來檢查數(shù)學知識的掌握情況，求恰好有1名學生通過自身努力達到最低期望分數(shù)的概率．

分數(shù)段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用各分數(shù)段的人數(shù)除以100，可得各分數(shù)段的頻率，從而可得頻率分布直方圖；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知達到最低期望的頻率為0.85，優(yōu)等生的頻率為0.18，從而可求該校學生數(shù)學成績達到最低期望的學生分數(shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）求出從分數(shù)在[85，90）的學生中抽取2人出來檢查數(shù)學知識的掌握情況，選出2人，共有

C

2 6

=15種情況，恰好有1名學生通過自身努力的學生的人數(shù)，即可求恰好有1名學生通過自身努力達到最低期望分數(shù)的概率．

解答： 解：（Ⅰ）利用各分數(shù)段的人數(shù)除以100，可得各分數(shù)段的頻率．

分數(shù)段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率	0.09	0.06	0.12	0.18	0.21	0.16	0.12	0.06

頻率分布直方圖，如圖所示
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知達到最低期望的頻率為0.85，優(yōu)等生的頻率為0.18，
∴最低期望的學生為1200×0.85=1020，優(yōu)等生人數(shù)為1200×0.18=216；
（Ⅲ）從分數(shù)在[85，90）的學生中抽取2人出來檢查數(shù)學知識的掌握情況，選出2人，共有

C

2 6

=15種情況，恰好有1名學生通過自身努力的學生有（80，86）（80，89），（81，86），（81，89），（83，86），（83，89），（84，86），（84，89），共8種情況，
∴恰好有1名學生通過自身努力達到最低期望分數(shù)的概率為

8

15

．

點評：本題考查頻率分布直方圖，考查概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．