Question

5．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左準(zhǔn)線為l，左、右焦點(diǎn)分別為F′，F(xiàn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，AF′∥BF，∠AF′F=60°，若AF′=2BF，則橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作出橢圓，然后分別過A，B作左準(zhǔn)線、右準(zhǔn)線的垂線為AC，BD，再分別過點(diǎn)F′，B作AC，x軸的垂線為F′E′，BE，可設(shè)BF=h，這樣根據(jù)橢圓的第二定義及已知條件，便可建立關(guān)于h的方程，解出h，這時便可得出橢圓的離心率．

解答 解：如圖，分別過A，B作左準(zhǔn)線的垂線AC，垂足為C，右準(zhǔn)線的垂線BD，垂足為D，作F′E′⊥AC，垂足為E′，過B作x軸的垂線，垂足為E，設(shè)BF=h，則AF′=2h；
又∠AF′E′=∠FBE=30°；
∴$AE′=h，F(xiàn)E=\frac{1}{2}h$；
∴$AC=\frac{{a}^{2}}{c}-c+h，BD=\frac{{a}^{2}}{c}-c-\frac{1}{2}h$；
∴根據(jù)橢圓的第二定義，$\frac{AF′}{AC}=\frac{BF}{BD}=e$，e為橢圓離心率；
即$\frac{2h}{\frac{{a}^{2}}{c}-c+h}=\frac{h}{\frac{{a}^{2}}{c}-c-\frac{1}{2}h}$；
∴$h=\frac{1}{2}（\frac{{a}^{2}}{c}-c）$；
∴$e=\frac{\frac{1}{2}（\frac{{a}^{2}}{c}-c）}{\frac{{a}^{2}}{c}-c-\frac{1}{4}（\frac{{a}^{2}}{c}-c）}=\frac{2}{3}$；
即橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的準(zhǔn)線方程，以及橢圓的第二定義，根據(jù)橢圓的第二定義求橢圓的離心率．