Question

6．已知函數(shù)y=sin²x+$\frac{1}{2}$sinx+1，設當y取得最大值時，角x的值為α，當y取得最小值時，角x的值為β，其中α，β均屬于區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求sin（β-α）的值．

Answer 1

分析 首先，換元，確定所給函數(shù)的最值情況，然后，結(jié)合函數(shù)的最值，確定所給角度的值，最后，利用誘導公式進行求解．

解答 解：y=sin²x+$\frac{1}{2}$sinx+1，
令sinx=t，（-1≤t≤1），
∴y=t²+$\frac{1}{2}t$+1，
=（t+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{16}$，
∴當t=-$\frac{1}{4}$時，該函數(shù)取得最小值，此時
sinβ=-$\frac{1}{4}$，
當t=1時，該函數(shù)取得最大值，此時
sinα=1，
∵α，β均屬于區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$α=\frac{π}{2}$，
∴sin（β-α）=sin（$β-\frac{π}{2}$）=-cosβ
=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$
=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題重點考查了二次函數(shù)的最值、換元法的思想方法、誘導公式等知識，屬于中檔題．