Question

18．在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；
（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；
（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；
（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和．

Answer 1

分析 設(shè)（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰ （*）
各項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₁+…+a₁₀，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₂+…+a₁₀，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉，x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉，x的偶次項(xiàng)系數(shù)和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．
由于（*）是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和．

解答 解：設(shè)（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰ （*）
各項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₁+…+a₁₀，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₂+…+a₁₀，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉，
x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉，x的偶次項(xiàng)系數(shù)和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．
（1）二項(xiàng)式系數(shù)和為${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{1}$+…+${C}_{10}^{10}$=2¹⁰．
（2）令x=y=1，各項(xiàng)系數(shù)和為（2-3）¹⁰=（-1）¹⁰=1．
（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{2}$+…+${C}_{10}^{10}$=2⁹，
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為${C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{3}$+…+${C}_{10}^{9}$=2⁹．
（4）設(shè)（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰
令x=y=1，得到a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=1       ①
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）
得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰             ②
①+②得2（a₀+a₂+…+a₁₀）=1+5¹⁰，
∴奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為$\frac{1+{5}^{10}}{2}$；
①-②得2（a₁+a₃+…+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為$\frac{1-{5}^{10}}{2}$．
（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉=$\frac{1-{5}^{10}}{2}$；
x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=$\frac{1+{5}^{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了利用特值法求二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)，是中檔題．